Flashcard FC98235
Todas as raízes da equação \( z^3 - 1 = 0 \) têm parte imaginária nula?
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2019
Todas as raízes da equação \( z^3 - 1 = 0 \) têm parte imaginária nula?
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Resposta
Não. Existem raízes que possuem parte imaginária nula.Exemplo: Considere a equação \( z^3 - 8 = 0 \). As raízes são \( z_k = 2 \text{cis} \left( \frac{2\pi k}{3} \right) \) para \( k = 0, 1, 2 \). Assim, as raízes são:
- Para \( k = 0 \): \( z_0 = 2 \) (parte imaginária nula)
- Para \( k = 1 \): \( z_1 = 2 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 + i \sqrt{3} \) (parte imaginária não nula)
- Para \( k = 2 \): \( z_2 = 2 \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 - i \sqrt{3} \) (parte imaginária não nula)
Veja como foi cobrado:
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