Flashcard FC98237
Um número complexo \( z \) na forma trigonométrica tem seu argumento como \( \theta \). Se o argumento \( \theta = \frac{\pi}{3} \), qual é a forma quadrática \( z^2 \) e a naturez
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2019
Um número complexo \( z \) na forma trigonométrica tem seu argumento como \( \theta \). Se o argumento \( \theta = \frac{\pi}{3} \), qual é a forma quadrática \( z^2 \) e a natureza desse número?
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Resposta
Um número complexo \( z \) na forma trigonométrica pode ser expresso como \( z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \). Se \( \theta = \frac{\pi}{3} \), a forma quadrática será \( z^2 = r^2 (\cos(2\theta) + i \sin(2\theta)) \). Como \( \theta \) é \( \frac{\pi}{3} \), temos \( 2\theta = \frac{2\pi}{3} \), que resulta em \( z^2 \) sendo um número complexo devido à parte imaginária não nula. Exemplo:Suponha que \( r = 1 \), então:
\( z = 1 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 1 \left( \frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Ao calcular \( z^2 \):
\( z^2 = \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 2 \left( \frac{1}{2} \right)\left( i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \).
Portanto, \( z^2 = \frac{1}{4} + i \frac{\sqrt{3}}{2} + i^2 \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + i \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \), que é um número complexo.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/89266
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