Flashcard FC98250
Como a análise da derivada de uma função pode ajudar a determinar se ela é crescente em um intervalo específico?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2019
Como a análise da derivada de uma função pode ajudar a determinar se ela é crescente em um intervalo específico?
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Resposta
A análise da derivada permite identificar os intervalos em que a função aumenta ou diminui, verificando o sinal da derivada. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função é crescente nesse intervalo.Exemplo: Considere a função g(x) = x^3 - 3x. A derivada é g'(x) = 3x^2 - 3. Igualando a derivada a zero, temos \(3x^2 - 3 = 0\) ou \(x^2 = 1\), resultando nas raízes \(x = -1\) e \(x = 1\). Analisando os intervalos:
- Para (-∞, -1), escolha \(x = -2\): g'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9\) (positivo).
- Para (-1, 1), escolha \(x = 0\): g'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3\) (negativo).
- Para (1, ∞), escolha \(x = 2\): g'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9\) (positivo). Assim, g(x) é crescente em (-∞, -1) e (1, ∞), e decrescente em (-1, 1).
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