Flashcard FC98253
Como se calcula o volume de um sólido limitado por uma função em duas variáveis e o plano xy?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2019
Como se calcula o volume de um sólido limitado por uma função em duas variáveis e o plano xy?
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Resposta
O volume pode ser calculado utilizando uma integral dupla em relação a x e y: \( V = \int \int_R f(x,y) \, dA \), onde \( R \) é a região de integração.Exemplo: Para encontrar o volume do sólido abaixo da superfície \( z = 3 + \sin(x-y) \) sobre a região \( 0 \leq x \leq \pi \) e \( 0 \leq y \leq \pi \), a integral dupla a ser calculada é:
\( V = \int_0^{\pi} \int_0^{\pi} (3 + \sin(x-y)) \, dx \, dy \).
A integral em relação a \( x \) é:
\( \int_0^{\pi} (3 + \sin(x-y)) \, dx = \left[ 3x - \cos(x-y) \right]_0^{\pi} = 3\pi + 1 \).
Então, a integral em relação a \( y \) seria:
\( V = \int_0^{\pi} (3\pi + 1) \, dy = (3\pi + 1)\pi = 3\pi^2 + \pi \).
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