Flashcard FC98322
O que impede uma função quadrática de ter inversa em todo o seu domínio?
Funções e Inequações
CEBRASPE (CESPE) · 2018
O que impede uma função quadrática de ter inversa em todo o seu domínio?
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Resposta
Porque não é injetora — falha no teste da reta horizontal.A forma geral \(f(x)=ax^2+bx+c\) leva, ao isolar \(x\) em \(y=ax^2+bx+c\), a duas soluções \(x\) (± raiz) para valores de \(y\) acima do extremo, ou seja, cada \(y\) pode ter duas pré‑imagens. Assim não há função inversa única sem restringir o domínio ao ramo à esquerda ou à direita do vértice.
Exemplo:
Considere \(f(x)=x^2-4x+5\).
Calculando: \(f(1)=1-4+5=2\) e \(f(3)=9-12+5=2\) — dois \(x\) distintos com mesma imagem, logo não é injetora no domínio inteiro.
Isolando \(x\): \(y=x^2-4x+5 \Rightarrow x=2\pm\sqrt{y-1}\) (definido para \(y\ge1\)).
Para obter inversa única restrinja o domínio, por exemplo a \([2,\infty)\), obtendo \(f^{-1}(y)=2+\sqrt{y-1}\) para \(y\ge1\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/89352
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