Qual é a condição necessária e suficiente para que uma matriz simétrica seja inversível?

Não necessariamente.
Uma matriz simétrica é inversível se e somente se \(\det(A)\neq 0\), o que é equivalente a todos os seus autovalores serem não nulos.

Exemplo: considere \(A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]1 & 2\end{pmatrix}\).
Calcula-se \(\det(A)=2\cdot2-1\cdot1=3\neq0\), portanto \(A\) é inversível.
O inverso é \(A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]-1 & 2\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]-1 & 2\end{pmatrix}\).