Flashcard FC98324
Se \(P^2+2P+I=0\), a matriz P é invertível? Qual é sua inversa?
Matrizes
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Se \(P^2+2P+I=0\), a matriz P é invertível? Qual é sua inversa?
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Resposta
Sim; \(P^{-1}=-P-2I\)
Da hipótese \(P^2+2P+I=0\) segue \(I=-P^2-2P\).
Reescrevendo: \(I=P(-P-2I)=(-P-2I)P\), ou seja, \(-P-2I\) é inversa à direita e à esquerda de \(P\).
Logo \(P\) é invertível e \(P^{-1}=-P-2I\).
exemplo:
Considere a matriz \(P=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\).
Temos \(P+I=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\) e \((P+I)^2=0\), logo \(P^2+2P+I=0\).
Calcule \(-P-2I=-\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\).
Verifique: \(P(-P-2I)=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\).
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