Flashcard FC98325
Como se obtém o conjunto geral de soluções de um sistema linear não homogêneo a partir de uma solução particular?
Matrizes
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Como se obtém o conjunto geral de soluções de um sistema linear não homogêneo a partir de uma solução particular?
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Resposta
Somando a solução particular ao núcleo:Se \(Y_0\) é uma solução particular de \(P X=B\) e \(PW=0\), então todas as soluções são \(X=Y_0+W\).
Explicação e exemplo:
Se \(Y_0\) satisfaz \(P Y_0=B\) e \(W\in\ker P\) (isto é, \(PW=0\)), então \(P(Y_0+W)=PY_0+PW=B+0=B\), logo \(Y_0+W\) é solução. Reciprocamente, se \(X\) resolve \(PX=B\), então \(W=X-Y_0\) pertence a \(\ker P\).
exemplo:
Considere \(P=[1\ 1\ 1]\) e o sistema \(P X=2\).
Uma solução particular é \(Y_0=(2,0,0)\) porque \(P Y_0=2\).
O núcleo é \(\ker P=\{(u,v,w):u+v+w=0\}=\langle(1,-1,0),(1,0,-1)\rangle\).
Logo a solução geral é \(X=Y_0+s(1,-1,0)+t(1,0,-1)\), \(s,t\in\mathbb{R}\), isto é \(X=(2+s+t,\,-s,\,-t)\).
Por exemplo, com \(s=1,t=-1\) obtemos \(X=(2,-1,1)\) e verifica-se \(P X=2\).
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