Flashcard FC98329
Quais são as características das raízes da equação z³ = α para um número real α não nulo?
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Quais são as características das raízes da equação z³ = α para um número real α não nulo?
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Resposta
As raízes são três soluções complexas, onde uma é real e as outras duas são complexas-conjugadas e formam um triângulo equilátero no plano complexo.Além disso, essas raízes possuem a mesma magnitude e estão dispostas a 120° uma da outra.
Exemplo: Para α = 1, as raízes são:
1. z₁ = 1(\cos(0) + i\sin(0)) = 1
2. z₂ = 1(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}
3. z₃ = 1(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}
Essas raízes estão dispostas ao redor do círculo de raio 1.
Veja como foi cobrado:
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