Qual é o lugar geométrico dos pontos z que satisfazem |z - z1| = |z - z2|?

É a reta mediatriz do segmento que une z1 e z2, i.e., a reta dos pontos equidistantes de ambos.

Explicação:
Seja \(z=x+iy,\; z_1=a+ib,\; z_2=c+id\).
A condição
\( |z-z_1|=|z-z_2| \) implica
\( (x-a)^2+(y-b)^2=(x-c)^2+(y-d)^2 \),
que, ao simplificar, resulta numa equação linear:
\( (c-a)x+(d-b)y=\dfrac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2} \),
que representa a reta mediatriz perpendicular ao segmento \(z_1z_2\).

Exemplo:
Tomando \(z_1=1+i,\; z_2=4+3i\):
\( (x-1)^2+(y-1)^2=(x-4)^2+(y-3)^2 \)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-2y+2 = x^2+y^2-8x-6y+25 \)
\(\Rightarrow 6x+4y=23 \) ou \(3x+2y=\tfrac{23}{2}\).
O ponto médio é \(\left(\tfrac{5}{2},2\right)\) e a reta tem declive perpendicular a \(\tfrac{2}{3}\), chegando à mesma equação: \(y-2=-\tfrac{3}{2}(x-\tfrac{5}{2})\), que é a mediatriz buscada.