Flashcard FC98331
Quando a equação \(z^n + p = 0\) com \(n\) par admite raízes reais?
Números Complexos
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Quando a equação \(z^n + p = 0\) com \(n\) par admite raízes reais?
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Resposta
Somente se p<0; então existem duas raízes reais distintas \(z=\pm(-p)^{1/n}\).Explicação:
Para qualquer \(z\in\mathbb{R}\) e \(n\) par tem‑se \(z^n\ge 0\). Assim, \(z^n=-p\) só é possível se \(-p\ge0\Rightarrow p\le0\); como \(p\neq0\), fica \(p<0\), o que gera duas soluções reais opostas.
Exemplo:
Se \(n=4\) e \(p=-16\), então \(z^4+(-16)=0\Rightarrow z^4=16\), portanto as raízes reais são \(z=\pm 16^{1/4}=\pm2\).
Veja como foi cobrado:
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