Qual é o módulo das raízes da equação \(z^n=q\) (com \(q\neq0\)) em termos de \(|q|\)?

Resposta

|z| = |q|^{1/n}

Explicação: Todas as raízes têm o mesmo módulo \( |q|^{1/n} \) e ficam igualmente espaçadas no círculo de raio \( |q|^{1/n} \).
Se \(\omega\) é uma raiz, as demais são \(\omega\zeta^k\) com \(\zeta=e^{2\pi i/n}\) e \(k=0,\dots,n-1\).

Exemplo:
Tomando \(q=-8\) e \(n=3\), temos \( |q|^{1/3}=2\).
As raízes são \(z_k=2e^{i(\pi+2k\pi)/3}\), \(k=0,1,2\).
Assim, \(z_0=2e^{i\pi/3},\ z_1=2e^{i\pi}=-2,\ z_2=2e^{i5\pi/3}\).
Em todos os casos \(|z_k|=2\).