Flashcard FC98342
Qual ponto minimiza a soma dos quadrados das distâncias a n pontos no plano e ele é necessariamente equidistante desses pontos?
Geometria Analítica
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Qual ponto minimiza a soma dos quadrados das distâncias a n pontos no plano e ele é necessariamente equidistante desses pontos?
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Resposta
O ponto é a média aritmética (baricentro) das coordenadas e não é, em geral, equidistante dos pontos.Explicação:
O ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias a um conjunto de pontos \( (x_i,y_i) \) é dado por \(P=(\bar{x},\bar{y})\), onde \( \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i\) e \( \bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum y_i\).
Isso reduz a soma dos quadrados, mas não implica que as distâncias de P a cada ponto sejam iguais.
Exemplo:
Considere A=(0,0), B=(4,0), C=(0,3).
O ponto médio aritmético é \(P=\big(\tfrac{0+4+0}{3},\tfrac{0+0+3}{3}\big)=\big(\tfrac{4}{3},1\big)\).
Calcule as distâncias ao quadrado:
\(d_{AP}^2=\big(\tfrac{4}{3}-0\big)^2+(1-0)^2=\tfrac{16}{9}+1=\tfrac{25}{9}\)
\(d_{BP}^2=\big(4-\tfrac{4}{3}\big)^2+(1-0)^2=\big(\tfrac{8}{3}\big)^2+1=\tfrac{64}{9}+1=\tfrac{73}{9}\)
\(d_{CP}^2=\big(0-\tfrac{4}{3}\big)^2+(3-1)^2=\tfrac{16}{9}+4=\tfrac{52}{9}\)
Como \( \tfrac{25}{9}\), \( \tfrac{73}{9}\) e \( \tfrac{52}{9}\) são distintos, P não é equidistante, embora minimize a soma dos quadrados.
Veja como foi cobrado:
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