Flashcard FC98346
Como se identifica, por meio das derivadas, se um ponto crítico é máximo ou mínimo local?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Como se identifica, por meio das derivadas, se um ponto crítico é máximo ou mínimo local?
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Resposta
Use o teste da derivada segunda: se \(f''(x_c)<0\) então é máximo local; se \(f''(x_c)>0\) então é mínimo local; se \(f''(x_c)=0\) o teste é inconclusivo.Explicação:
1) Ache pontos críticos onde \(f'(x)=0\) ou \(f'\) não existe.
2) Calcule \(f''(x)\) e avalie em cada ponto crítico \(x_c\).
3) Interprete o sinal de \(f''(x_c)\) conforme acima.
Exemplo:
Considere \(f(x)=x^4-4x^2+1\).
\(f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)\) ⇒ pontos críticos: \(x=0,\pm\sqrt{2}\).
\(f''(x)=12x^2-8\).
\(f''(0)=-8<0\) ⇒ máximo local em \(x=0\).
\(f''(\pm\sqrt{2})=12\cdot2-8=16>0\) ⇒ mínimos locais em \(x=\pm\sqrt{2}\).
Valores: \(f(0)=1,\;f(\pm\sqrt{2})=-3\).
Observação: para extremos absolutos em intervalo fechado, compare também os valores nos extremos do intervalo.
Veja como foi cobrado:
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