O que caracteriza um ponto de mínimo local e como verificar se ele é também mínimo global em um domínio fechado?

Um ponto de mínimo local é um ponto crítico \(x_0\) (onde \(f'(x_0)=0\)) tal que \(f''(x_0)>0\).
Para ser mínimo global em um domínio fechado, é preciso comparar o valor \(f(x_0)\) com os valores de \(f\) em todos os outros pontos críticos e nas extremidades; o menor valor é o mínimo global.

Exemplo:
Considere \(f(x)=x^4-4x^2+1\) em \(D=[-3,3]\).
\(f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)\) ⇒ pontos críticos \(x=0,\pm\sqrt{2}\).
\(f''(x)=12x^2-8\).
\(f''(\pm\sqrt{2})=12\cdot2-8=16>0\) ⇒ mínimos locais em \(x=\pm\sqrt{2}\).
\(f(\pm\sqrt{2})=4-8+1=-3\).
Extremidades: \(f(\pm3)=81-36+1=46\).
Comparando valores, o menor valor em \(D\) é \(-3\) em \(x=\pm\sqrt{2}\), portanto esses pontos são também mínimos globais em \(D\).