Flashcard FC98348
O que garante que a imagem de uma transformação linear seja um subespaço do contradomínio?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
O que garante que a imagem de uma transformação linear seja um subespaço do contradomínio?
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Resposta
Porque a imagem é fechada sob soma e multiplicação escalar e contém o vetor zero.Se \(u=T(v)\) e \(w=T(v')\) então \(u+w=T(v+v')\) pertence à imagem; para escalar \(c\), \(c\,u=T(c\,v)\) pertence à imagem; além disso \(T(0)=0\). Portanto a imagem é um subespaço.
Exemplo:
Considere \(S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) dada por \(S(x,y,z)=(x,y,0)\).
Temos \(S(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)\), logo \(\operatorname{Im}S=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\), que é um subespaço de dimensão 2 de \(\mathbb{R}^3\).
Veja como foi cobrado:
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