O que caracteriza um vetor pertencente ao núcleo de uma transformação linear?

Resposta

Um vetor pertence ao núcleo se sua imagem pela transformação for o vetor zero do espaço de chegada.

Explicação:
Se \(T:V\to W\) é linear, então \(v\in\ker(T)\) sse \(T(v)=0\).
Isso equivale a resolver o sistema de equações que resulta das componentes de \(T(v)\) igualadas a zero; os vetores que satisfazem esse sistema formam o núcleo, frequentemente um subespaço gerado por vetores diretores.

Exemplo:
Considere \(S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) dada por \(S(x,y)=(x-y,\,2x-2y)\).
Queremos \((x,y)\) tais que \(S(x,y)=(0,0)\), isto é
\(x-y=0\) e \(2x-2y=0\).
Da primeira equação \(x=y\), logo os vetores do núcleo são \((t,t)=t(1,1)\), \(t\in\mathbb{R}\).
Portanto \(\ker(S)=\mathrm{span}\{(1,1)\}\).