Flashcard FC98350
Como podemos determinar se uma transformação linear composta é bijetiva?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Como podemos determinar se uma transformação linear composta é bijetiva?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
A transformação linear composta é bijetiva se for injetiva (o núcleo contém apenas o vetor nulo) e sobrejetiva (a imagem coincide com todo o contradomínio).Para ilustrar, considere as transformações lineares \( A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) dada por \( A(x, y) = (2x, 2y) \) e \( B: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) dada por \( B(x, y) = (x/2, y/2) \). A composição \( B \circ A \) resulta na transformação \( B(A(x, y)) = B(2x, 2y) = (2x/2, 2y/2) = (x, y) \), que é uma bijeção, pois é injetiva e sobrejetiva.
Exemplo:
Vamos verificar a injetividade e sobrejetividade de \( B \circ A \):
Injetividade: \( B \circ A(x, y) = (0, 0) \implies (x, y) = (0, 0) \) (nulo apenas).
Sobrejetividade: Qualquer vetor \( (a, b) \in \mathbb{R}^2 \) pode ser obtido como \( B \circ A(x, y) \) devido à linearidade.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/89380
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em