Como verificar se a solução de uma EDO tende a um limite finito L quando t→∞ e se esse limite pode ser atingido em tempo finito?

Resposta

Verifique os termos que dependem de \(t\): se contêm fatores como \(e^{-at}\) com \(a>0\), esses termos tendem a 0 e o limite é obtido substituindo-os por 0; tal limite normalmente não é atingido em tempo finito.

Explicação:
Para soluções que envolvem exponenciais decrescentes, use \( \lim_{t\to\infty}e^{-at}=0\) com \(a>0\). Substitua esses termos por 0 na expressão da solução para obter o limite assintótico \(L\). Se a diferença entre a solução e \(L\) depende de \(e^{-at}\) (sempre positiva para \(t\) finito), então a solução aproxima \(L\) mas não o atinge em tempo finito.

Exemplo:
Considere \(x(t)=\dfrac{10}{2e^{-t}+1}\).
\( \lim_{t\to\infty}e^{-t}=0\Rightarrow \lim_{t\to\infty}x(t)=\dfrac{10}{1}=10.\)
Como \(2e^{-t}+1>1\) para todo \(t\) finito, tem-se \(x(t)<10\) para todo \(t<\infty\); o valor 10 é alcançado apenas no limite \(t\to\infty\).