Flashcard FC98354
Como se usa separação de variáveis para determinar o tempo t em que uma solução P(t) de uma EDO separável atinge um valor P*?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Como se usa separação de variáveis para determinar o tempo t em que uma solução P(t) de uma EDO separável atinge um valor P*?
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Resposta
Separar variáveis, integrar, aplicar a condição inicial e isolar t a partir da solução P(t)=P*.Explicação e exemplo:
Passos: separar \(f(P)\,dP=g(t)\,dt\), integrar ambos os lados, usar a condição inicial para determinar a constante e então resolver a expressão obtida para \(t\) quando \(P=P^*.\)
Exemplo: considere \( \dfrac{dP}{dt}=0.3P\left(1-\dfrac{P}{100}\right)\), \(P(0)=10\). Queremos o tempo para \(P=60\).
Separando e integrando:
\( \displaystyle \int \frac{dP}{P(1-P/100)}=\int 0.3\,dt\).
Observando \( \frac{1}{P(1-P/100)}=\frac{100}{P(100-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{100-P}\), integra-se:
\( \ln\frac{P}{100-P}=0.3t+C\).
Com \(P(0)=10\): \(C=\ln\frac{10}{90}=-\ln 9\). Assim
\( \frac{P}{100-P}=\frac{e^{0.3t}}{9}\) e \( P(t)=\dfrac{100}{1+9e^{-0.3t}}\).
Para \(P=60\): \( \dfrac{60}{40}=\dfrac{e^{0.3t}}{9}\Rightarrow e^{0.3t}=13.5\Rightarrow t=\dfrac{1}{0.3}\ln(13.5)\approx 8{,}67.\)
Resultado: cerca de 8,67 unidades de tempo.
Veja como foi cobrado:
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