Flashcard FC98357
De acordo com o assunto Matemática: Tópicos de Matemática (Ensino Superior), responda: Defina o inverso multiplicativo em \(\mathbb{Z}_n\) e como determiná-lo usando congruências.
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Defina o inverso multiplicativo em \(\mathbb{Z}_n\) e como determiná-lo usando congruências.
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Resposta
Elemento y é inverso multiplicativo de x em \(\mathbb{Z}_n\) se \(x\cdot y\equiv1\pmod{n}\); encontra-se resolvendo \(x y\equiv1\pmod{n}\) ou aplicando o algoritmo de Euclides estendido.Explicação:
Um número \(y\) é o inverso multiplicativo de \(x\) em \(\mathbb{Z}_n\) quando existe a congruência \(x\cdot y\equiv1\pmod{n}\).
Tal inverso existe ⇔ \(\gcd(x,n)=1\).
Para encontrar \(y\) pode-se testar valores até achar \(x y\equiv1\pmod{n}\) ou usar o algoritmo de Euclides estendido para obter inteiros \(a,b\) com \(x a + n b = 1\), então \(a\) (mod \(n\)) é o inverso.
Exemplo:
Considere \(\mathbb{Z}_9\) e \(x=2\). Como \(\gcd(2,9)=1\), existe inverso.
Verificação por teste: \(2\cdot5=10\) e \(10\equiv1\pmod{9}\), logo \(5\) é inverso de \(2\).
Pela Euclides estendido: \(9=4\cdot2+1\Rightarrow1=9-4\cdot2\), então \(-4\) é solução de \(2a+9b=1\) e \(-4\equiv5\pmod{9}\), confirmando o inverso \(5\).
Veja como foi cobrado:
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