Flashcard FC98358
O que caracteriza um domínio de integridade em um anel?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2018
O que caracteriza um domínio de integridade em um anel?
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Resposta
Para um anel ser considerado um domínio de integridade, ele deve ser comutativo em relação à multiplicação e não deve ter divisores de zero.Exemplo: Considere o anel dos inteiros \( \mathbb{Z} \). Aqui, a multiplicação é comutativa, ou seja, \( a \cdot b = b \cdot a \) para quaisquer inteiros \( a \) e \( b \). Além disso, não existem inteiros \( a \) e \( b \) diferentes de zero tal que \( a \cdot b = 0 \). Assim, \( \mathbb{Z} \) é um domínio de integridade.
Outro Exemplo: Seja \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) e \( B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \). Calcule \( A \cdot B \) e \( B \cdot A \) para verificar que a multiplicação não é comutativa:
\( A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)
\( B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)
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