Qual condição determina que uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco?

Resposta

Que a velocidade seja constante e igual a 1, isto é \(||c'(t)||=1\) para todo \(t\).

Uma parametrização por comprimento de arco significa que o parâmetro coincide com o arco percorrido, portanto a norma da derivada deve ser unitária em todos os instantes.

Considere a hélice \(c(t)=\big(\tfrac{1}{2}\cos t,\tfrac{1}{2}\sin t,\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\).
Derivando: \(c'(t)=\big(-\tfrac{1}{2}\sin t,\tfrac{1}{2}\cos t,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\).
Norma: \(||c'(t)||=\sqrt{\tfrac{1}{4}\sin^2t+\tfrac{1}{4}\cos^2t+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}}=1\).
Logo esta parametrização é por comprimento de arco.