Quando a velocidade escalar \(v(t)=\|c'(t)\|\) é constante em \(t\)?

Quando o módulo de c' não depende de t, ou seja, \(\|c'(t)\|\) é constante.

Porque a velocidade escalar é definida por \(v(t)=\|c'(t)\|\).
Portanto, mesmo que o vetor velocidade mude de direção, a velocidade será constante apenas se o seu módulo for independente de \(t\).
Para obter velocidade constante a partir de outra parametrização, usa‑se reparametrização por comprimento de arco.

exemplo:
\(c(t)=(R\cos(\omega t),\;R\sin(\omega t))\) com \(R,\omega>0\).
\(c'(t)=(-R\omega\sin(\omega t),\;R\omega\cos(\omega t))\).
\(v(t)=\|c'(t)\|=\sqrt{(-R\omega\sin(\omega t))^2+(R\omega\cos(\omega t))^2}=R\omega\), constante em \(t\).