Qual é o limite da razão dos termos consecutivos da sequência de Fibonacci e qual equação quadrática esse limite satisfaz?

\(\varphi\approx1{,}618\) é o limite; é a raiz positiva de \(x^2-x-1=0\).

Derivação:
Da recorrência \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\), dividindo por \(f_{n-1}\) e tomando limite \(r=\lim_{n\to\infty}\dfrac{f_n}{f_{n-1}}\) obtém-se \(r=1+\dfrac{1}{r}\).
Assim \(r^2-r-1=0\) e \(r=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi\).

Exemplo:
Considere termos maiores: \(f_{10}=55,\;f_{11}=89,\;f_{12}=144\).
Calculando razões: \(\dfrac{89}{55}\approx1{,}61818,\;\dfrac{144}{89}\approx1{,}61798\), que convergem para \(\varphi\).