A contrapositiva e a inversa de \(p\to q\): quais são logicamente equivalentes a \(p\to q\)?

A contrapositiva \(\neg q\to\neg p\) é equivalente a \(p\to q\); a inversa \(\neg p\to\neg q\) não é.

Explicação:
\(p\to q\) é logicamente equivalente a \(\neg p\lor q\).
A contrapositiva \(\neg q\to\neg p\) equivale a \(\neg(\neg q)\lor\neg p = q\lor\neg p\), que é a mesma fórmula por comutatividade: \(\neg p\lor q\).
Já a inversa \(\neg p\to\neg q\) não tem essa equivalência e pode ser falsa quando \(p\) é falso e \(q\) é verdadeiro.

Exemplo:
Tome \(p\): "chove" e \(q\): "a rua está molhada".
Considere o caso em que não chove (\(p\) falso) e a rua está molhada por outra razão (\(q\) verdadeiro).
Então \(p\to q\) é verdadeiro, mas \(\neg p\to\neg q\) tem antecedente verdadeiro e consequente falso, sendo falsa.