Qual é a equivalência lógica entre uma condicional e sua contrapositiva e como isso se interpreta em termos de subconjuntos?

Resposta

\(p\to q\) é equivalente a \( \neg q \to \neg p\); lido como "Todo X é Y" implica \(X\subseteq Y\).

Uma condicional p → q tem a mesma força lógica da sua contrapositiva ¬q → ¬p, ou seja, afirmar "Se X então Y" é igual a afirmar "Se não Y então não X".
Interpretando "Se X então Y" como a frase categórica "Todo X é Y", concluímos que o conjunto dos elementos X está contido no conjunto dos elementos Y (X ⊆ Y).

Exemplo:
Considere números inteiros: seja \(p\): "n é divisível por 6" e \(q\): "n é divisível por 3".
Então \(p\to q\) = "Se n é divisível por 6 então é divisível por 3".
Contrapositiva: \(\neg q\to \neg p\) = "Se n não é divisível por 3 então não é divisível por 6".
Em termos de conjuntos, \(D=\{n:\;6\mid n\}\) e \(T=\{n:\;3\mid n\}\), logo \(D\subseteq T\).