Flashcard FC98498
Como a paridade (par ou ímpar) das trocas afeta o retorno de elementos às suas posições iniciais após várias trocas?
Outros Exercícios de Lógica
CEBRASPE (CESPE) · 2014
Como a paridade (par ou ímpar) das trocas afeta o retorno de elementos às suas posições iniciais após várias trocas?
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Resposta
Se cada transposição aplicada a um par de elementos ocorrer um número par de vezes, esses elementos retornam às posições iniciais; se ocorrerem um número ímpar de vezes, permanecem trocados.Explicação:
Uma troca entre dois elementos é uma transposição τ. Para qualquer transposição τ vale \( \tau^2 = \mathrm{id} \) (identidade). Logo, aplicar τ um número par de vezes resulta em \( \tau^{2n}=\mathrm{id} \), retornando tudo ao lugar; aplicar τ um número ímpar de vezes dá \( \tau^{2n+1}=\tau \), mantendo a troca.
Exemplo:
Considere quatro peças {1,2,3,4} e suponha que em várias jogadas apenas as peças 1 e 2 são trocadas em cada jogada. Seja τ = (1 2). Após 5 jogadas temos \( \tau^5=\tau \) → 1 e 2 trocadas. Após 6 jogadas temos \( \tau^6=(\tau^2)^3=\mathrm{id} \) → todas as peças voltaram às posições iniciais.
Veja como foi cobrado:
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