Flashcard FC98581
Qual a fórmula geral para a probabilidade de selecionar todos os elementos de um subconjunto de tamanho k ao escolher n elementos de um conjunto de tamanho N, sem reposição?
Probabilidade
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Qual a fórmula geral para a probabilidade de selecionar todos os elementos de um subconjunto de tamanho k ao escolher n elementos de um conjunto de tamanho N, sem reposição?
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Resposta
\( \displaystyle P=\frac{\binom{N-k}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}\) (para \(k\le n\)).Explicação:
O número de escolhas favoráveis consiste em escolher os restantes \(n-k\) elementos entre os \(N-k\) que não pertencem ao subconjunto, daí \(\binom{N-k}{n-k}\).
O total de escolhas possíveis é \(\binom{N}{n}\).
Se \(k=n\) a fórmula reduz-se a \(1/\binom{N}{n}\).
Alternativamente, para \(k=n\) via produto sequencial (sem reposição): \(P=\prod_{i=0}^{k-1}\frac{k-i}{N-i}=\frac{k}{N}\cdot\frac{k-1}{N-1}\cdots\frac{1}{N-k+1}\).
Exemplo:
Para \(N=8\), \(k=2\), \(n=3\):
\(P=\dfrac{\binom{8-2}{3-2}}{\binom{8}{3}}=\dfrac{\binom{6}{1}}{\binom{8}{3}}=\dfrac{6}{56}=\dfrac{3}{28}\approx10{,}71\%\).
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