Flashcard FC98618
Sob que condição os complementos de dois eventos mutuamente excludentes também são mutuamente excludentes?
Probabilidade
CEBRASPE (CESPE) · 2015
Sob que condição os complementos de dois eventos mutuamente excludentes também são mutuamente excludentes?
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Resposta
Quando \(P(A)+P(B)=1\) (equivalente a \(A\cup B=\Omega\)).Explicação:
Se \(A\) e \(B\) são mutuamente excludentes, \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
Como \(\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}\), então \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A\cup B)=1-P(A)-P(B)\).
Portanto \(\overline{A}\) e \(\overline{B}\) são mutuamente excludentes somente se \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0\), isto é, se \(P(A)+P(B)=1\) (ou \(A\cup B=\Omega\)).
Exemplo:
Considere um dado justo.
Se \(A=\{1,2\}\) e \(B=\{3,4\}\) então \(P(A)=\tfrac{2}{6},\ P(B)=\tfrac{2}{6}\).
\(P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-\tfrac{2}{6}-\tfrac{2}{6}=\tfrac{2}{6}>0\), logo \(\overline{A}\) e \(\overline{B}\) não são mutuamente excludentes.
Se, em vez disso, \(A=\{1,2,3\}\) e \(B=\{4,5,6\}\), então \(P(A)+P(B)=1\) e \(\overline{A}\cap\overline{B}=\varnothing\).
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