Como a regra de Bayes atualiza a probabilidade de um evento futuro a partir de observações passadas?

Atualiza o prior para uma posterior via verossimilhança; a probabilidade do novo evento é dada pela preditiva posterior.

Explicação:
Pela regra de Bayes: \(P(\theta|D)=\dfrac{P(D|\theta)P(\theta)}{P(D)}\).
A probabilidade de um novo evento condicionada aos dados é a posterior preditiva: \(P(x_{new}|D)=\int P(x_{new}|\theta)\,P(\theta|D)\,d\theta\).
Apenas se as variáveis forem estritamente independentes observações passadas não alteram essa previsão.

Exemplo:
Suponha contagens diárias modeladas por uma Poisson(\(\lambda\)) e um prior Gamma(\(a,b\)) para \(\lambda\). Com dados \(D\) com soma \(S\) em \(n\) dias, a posterior é Gamma(\(a+S,\;b+n\)).
A preditiva para a próxima contagem é
\(P(x_{new}|D)=\int \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^{x_{new}}}{x_{new}!}\cdot \dfrac{b'^{a'}}{\Gamma(a')} \lambda^{a'-1} e^{-b'\lambda}\,d\lambda\), onde \(a'=a+S,\; b'=b+n\).
Isso resulta na forma fechada (Negativa Binomial):
\(P(x_{new}|D)=\dfrac{\Gamma(x_{new}+a')}{x_{new}!\,\Gamma(a')}\left(\dfrac{b'}{1+b'}\right)^{a'}\left(\dfrac{1}{1+b'}\right)^{x_{new}}\), que mostra como as observações passadas (via \(a',b'\)) alteram a previsão para o próximo dia.