De quantos modos diferentes ele pode efetuar a compra?

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa D, que afirma que o número de maneiras que o freguês pode efetuar a compra é 119. Para chegar a esse resultado, devemos primeiro entender todas as combinações possíveis de compra das calças, tendo como limite um gasto máximo de R$ 400,00.

O freguês pode escolher dentre 11 calças distintas, sendo 3 calças de R$ 50,00, 4 calças de R$ 100,00 e 4 calças de R$ 200,00. Para encontrar quantas combinações de 3 calças podem ser compradas, podemos calcular diretamente o total de combinações de três calças a partir das 11 calças disponíveis:

\(C_{11,\,3} = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165\)

Até aqui, temos 165 maneiras de escolher 3 calças, mas precisamos considerar as restrições impostas pelo limite de R$ 400,00.

As combinações que ultrapassam esse valor precisam ser subtraídas do total:

• Se o freguês escolher 3 calças de R$ 200,00, totalizando R$ 600,00, isso excede o limite. Existem 4 calças a esse preço, e podemos escolher 3 delas de:

\(C_{4,\,3} = 4\)

• Se escolher 2 calças de R$ 200,00 (totalizando R$ 400,00) e 1 calça de qualquer uma das outras 7 calças (R$ 50,00 e R$ 100,00), isso ainda não excede. O número de formas é:

\(C_{4,\,2} \times 7 = 6 \times 7 = 42\)

Portanto, o total de combinações que não são permitidas, por exceder o limite de gastos, é:

\(4 + 42 = 46\)

Subtraindo as combinações não permitidas do total, temos:

\(165 - 46 = 119\)

Assim, o total de maneiras que o freguês pode comprar 3 calças e gastar no máximo R$ 400,00 é, de fato, 119, confirmando a alternativa D.