Questão FC187764
Quantos empates houve nesse torneio?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
CESGRANRIO · 2014
Um torneio de futebol foi disputado por apenas cinco times, de modo que cada time jogou com cada um dos outros uma única vez. Nesse torneio, cada vitória deu ao vencedor 3 pontos, cada empate deu 1 ponto para cada um dos dois times, e cada time derrotado não ganhou nem perdeu ponto. A Tabela abaixo mostra a pontuação de cada time, após o término do torneio.
| Time | Pontuação Final |
| Urubulense | 7 |
| Colorista | 6 |
| Sporteará | 5 |
| Furacaço | 4 |
| Raposão | 3 |
Quantos empates houve nesse torneio?
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Para determinar o número de empates no torneio, vamos analisar os resultados e as pontuações finais de cada time. Primeiro, sabemos que houve 5 times, e cada time jogou contra todos os outros uma única vez.
O número total de jogos é calculado pela combinação de 5 times, tomados 2 a 2, que resulta em:
\(C_{5,2} = 10\)
Se todos os jogos tivessem um vencedor, a pontuação total seria:
\(10 \text{ jogos} \times 3 \text{ pontos} = 30 \text{ pontos}\)
Entretanto, quando somamos as pontuações dos times da tabela, temos:
\(7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 25 \text{ pontos}\)
Isso implica que 5 pontos não foram distribuídos durante os jogos. Para cada empate, são distribuídos apenas 2 pontos (1 para cada time), enquanto uma vitória distribui 3 pontos. Assim, para cada empate, se perde 1 ponto que poderia ser distribuído.
Como faltam 5 pontos a serem distribuídos, concluímos que houve:
\(5 \text{ empates}\)
Portanto, a alternativa correta é que ocorreram 5 empates no torneio.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em