Questão FC187765
Qual é o número máximo de chaves distintas que poderiam indicar alguma eventual composição de prova?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
CESGRANRIO · 2014
Uma prova semestral é composta por 10 questões. As questões que compõem a prova são selecionadas de um banco com questões de quatro tópicos: T1, T2, T3 e T4. Cada questão que compõe a prova aborda apenas um desses quatro tópicos e, no banco, há centenas de questões sobre cada um deles. Cada prova possui uma chave (t1, t2, t3, t4) que indica o número de questões, sobre os respectivos tópicos, que estão presentes na prova. Dessa forma, os números t1, t2, t3 e t4 são inteiros não negativos e tais que t1 + t2 + t3 + t4 = 10.
Por exemplo, uma prova cuja chave é (3,2,4,1) é composta por 3 questões do tópico T1, 2 questões do tópico T2, 4 questões do tópico T3 e 1 questão do tópico T4. Uma prova com chave (0,0,5,5) não seria composta por questões sobre os tópicos T1 ou T2, mas sim por 5 questões do tópico T3 e 5 questões do tópico T4.
Qual é o número máximo de chaves distintas que poderiam indicar alguma eventual composição de prova?
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\(\frac {13!} {10!.3!}\)
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\(4.10!\)
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\(10.4!\)
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\(4. \frac {10!} {6!.4!}\)
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\(10^4\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Para resolver a questão proposta, precisamos encontrar o número de chaves distintas que representam a composição de uma prova com questões de quatro tópicos, conforme a equação inicial:
\(t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = 10\)
Aqui, \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\) e \(t_4\) são inteiros não negativos que indicam quantas questões estão relacionadas a cada tópico. Este cenário é um exemplo clássico de composição de números inteiros não negativos.
Para resolver essa equação, podemos usar o método das permutacões com repetição. Neste contexto, representamos as questões como bolinhas e as separações entre os tópicos como tracinhos. Assim, temos 10 bolinhas (representando as questões) e 3 tracinhos (que separam os tópicos), totalizando 13 símbolos no total.
O problema se transforma em calcular de quantas formas podemos organizar essas 13 posições, onde temos 10 bolinhas e 3 tracinhos. A fórmula geral para calcular permutacões com repetição é:
\(\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ... \times n_k!}\)
Neste caso, temos:
- n = total de símbolos = 13
- n_1 = número de bolinhas = 10
- n_2 = número de tracinhos = 3
Portanto, substituindo na fórmula, temos:
\(\frac{13!}{10! \times 3!}\)
Esse resultado nos dá o número máximo de chaves distintas que representam as diferentes composições da prova. Logo, a alternativa correta é:
A: \(\frac{13!}{10! \times 3!}\)
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