Quantos são os numerais de três algarismos no sistema de numeração de base 8 em que, pelo menos, um algarismo é repetido?

Gabarito

A

Comentário do professor

Para resolver a questão proposta, vamos determinar quantos números de três algarismos podemos formar no sistema de numeração de base 8, onde pelo menos um algarismo seja repetido.

Primeiro, precisamos calcular o total de números de três algarismos que podem ser formados nesse sistema. No sistema base 8, os algarismos que podemos usar vão de 0 a 7. Como o primeiro algarismo não pode ser zero, temos:

• 7 opções para o primeiro algarismo;
• 8 opções para o segundo algarismo;
• 8 opções para o terceiro algarismo.

Dessa forma, o total de números de três algarismos é dado por:

\( 7 \times 8 \times 8 = 448 \,\,\text{números} \)

Agora, precisamos calcular os números de três algarismos distintos. Aqui, o raciocínio muda um pouco:

• 7 opções para o primeiro algarismo (não pode ser zero);
• 7 opções para o segundo algarismo (pode incluir zero, mas exclui o primeiro algarismo);
• 6 opções para o terceiro algarismo (exclui os dois anteriores).

Então, o total de números com três algarismos distintos é:

\( 7 \times 7 \times 6 = 294 \,\,\text{números} \)

Agora, para encontrar quantos números de três algarismos possuem pelo menos um algarismo repetido, subtraímos o total de números de três algarismos distintos do total de números de três algarismos. Assim, temos:

\( 448 - 294 = 154 \,\,\text{números} \)

Portanto, a quantidade de numerais de três algarismos no sistema de numeração de base 8 em que, pelo menos, um algarismo é repetido é igual a 154.