De quantos modos é possível escolher os dias de exibição de forma que não haja filmes estreando em dias consecutivos?

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta que afirma que há 10 maneiras de escolher os dias em que três filmes podem estrear, com a condição de que não haja filmes em dias consecutivos.

Os dias da semana são Segunda, Terça, Quarta, Quinta, Sexta, Sábado e Domingo.

Para resolver essa questão, devemos pensar na seguinte estratégia:

• Selecione três dias em que não haja filmes consecutivos.
• Garanta que entre cada filme selecionado, exista pelo menos um dia sem filme.

Uma forma eficaz de resolver isso é imaginar que os dias sem filmes são espacos entre os dias de exibição dos filmes. Se considerarmos o espaço de um dia vazio entre cada filme, necessitamos pelo menos de dois dias para separá-los.

Contando os espaços que podem ser usados, temos:

• 1 dia para o primeiro filme,
• 1 dia vazio (para não ter filmes consecutivos),
• 1 dia para o segundo filme,
• 1 dia vazio,
• 1 dia para o terceiro filme.

Isso nos dá um total de 5 dias considerando os filmes e os dias vazios. Assim, sobram 2 dias restantes da semana que podem ser usados livremente na escolha.

Agora, precisamos combinar os 5 dias ocupados com os 2 dias livres, o que se traduz em um problema de combinação.

Utilizamos o princípio da combinação:

Precisamos escolher 3 espaços preenchidos a partir dos 5 espaços disponíveis. Isso pode ser representado como:

\( C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), onde \( n = 5 \) e \( k = 3 \).

Por fim, isso resulta em \( C(5,3) = 10 \) maneiras diferentes de selecionar os dias.

Assim, concluímos que há 10 maneiras de escolher os dias de exibição dos três filmes sem que estes estreiem em dias consecutivos.

Resposta: Letra D