Quantas senhas diferentes Guilherme poderá criar se optar por uma senha sem algarismos repetidos?

Gabarito

B

Comentário do professor

Para determinar a quantidade de senhas que Guilherme poderá criar, precisamos considerar as combinações possíveis a partir dos algarismos de sua data de nascimento: 26/03/1980. Os algarismos disponíveis são: 0, 1, 2, 3, 6, 8, 9. Ou seja, temos um total de 7 algarismos diferentes.

Agora, precisamos calcular o número de senhas que podem ser formadas com 4, 5 e 6 dígitos, sem repetir os algarismos. Utilizaremos o conceito de arranjos, pois a ordem dos algarismos na senha importa.

Caso 1: Para senhas com exatamente 4 dígitos, a quantidade de arranjos é dada por:

\(A_{7,4} = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840\)

Caso 2: Para senhas com exatamente 5 dígitos, temos:

\(A_{7,5} = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520\)

Caso 3: Finalmente, para senhas com exatamente 6 dígitos, o cálculo é:

\(A_{7,6} = \frac{7!}{(7-6)!} = \frac{7!}{1!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 5040\)

Agora, somamos todas as combinações:

Total = \(840 + 2520 + 5040 = 8400\)

Dessa forma, a quantidade total de senhas diferentes que Guilherme poderá criar, sem algarismos repetidos, é de 8.400. Portanto, a alternativa correta é a letra B.