Questão FC187778
Sendo assim, quantos saquinhos diferentes podem ser “montados”?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
CESGRANRIO · 2012
Uma pessoa dispõe de balas de hortelã, de caramelo e de coco e pretende “montar” saquinhos com 13 balas cada, de modo que, em cada saquinho, haja, no mínimo, três balas de cada sabor. Um saquinho diferencia-se de outro pela quantidade de balas de cada sabor. Por exemplo, seis balas de hortelã, quatro de coco e três de caramelo compõem um saquinho diferente de outro que contenha seis balas de coco, quatro de hortelã e três de caramelo.
Sendo assim, quantos saquinhos diferentes podem ser “montados”?
- 4
- 6
- 9
- 12
- 15
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Para resolver a questão proposta, devemos focar na quantidade de balas que restam a serem distribuídas após garantir que em cada saquinho haja, no mínimo, três balas de cada sabor (hortelã, caramelo e coco).
O total de balas é 13, e ao reservamos 3 de cada sabor, somamos:
\( 3 \times 3 = 9 \) balas.
Após essa distribuição obrigatória, restam \( 13 - 9 = 4 \) balas a serem distribuídas entre os três sabores.
Agora, precisamos pensar na distribuição de 4 balas (que podemos considerar como itens indistinguíveis) entre 3 sabores (que podem ser considerados como categorias distintas).
Para abordar essa questão, utilizamos o princípio de "distribuição com repetição". Podemos imaginar as balas como bolinhas e as divisões entre os sabores como barrinhas de separação.
Assim, a configuração pode ser representada por:
4 (bolinhas) + 2 (barrinhas) = 6 símbolos a serem organizados.
O total de maneiras de dispor esses símbolos (considerando que as bolinhas são indistinguíveis e as barrinhas também) é dado pela fórmula de permutações com repetição:
\[ \frac{6!}{4! \times 2!} \]
O cálculo resulta em:
\[ \frac{720}{24 \times 2} = \frac{720}{48} = 15 \]
Assim, concluímos que podem ser montados 15 saquinhos diferentes com a combinação de balas respeitando as condições impostas.
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