Quantas são as soluções inteiras e não negativas da equação x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 3?

Gabarito

B

Comentário do professor

Para resolver a questão sobre quantas são as soluções inteiras e não negativas da equação

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 3\),

onde temos 6 incógnitas, podemos utilizar a técnica de combinações com repetição.

Primeiro, identificamos que a soma total é 3. Queremos descobrir de quantas maneiras podemos distribuir esse valor entre as 6 incógnitas, sendo que cada incógnita pode assumir valores inteiros não negativos.

Podemos aplicar a fórmula de combinações com repetição:

\(C_{R+n-1,\,R}=\frac {(R+n-1)!}{R!\times (n-1)!}\)

Onde:

• R é o resultado da equação, ou seja, 3;
• n é o número de incógnitas, que neste caso é 6.

Substituindo os valores na fórmula, teremos:

\(C_{3+6-1,\,3} = C_{8,\,3} = \frac{8!}{3! \times 5!}\)

Agora, calculamos:

\(C_{8,\,3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56\)

Portanto, há 56 soluções inteiras e não negativas para a equação. Por isso, a alternativa correta é a letra B.