De quantas maneiras é possível colorir 5 objetos iguais, usando quatro cores diferentes?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para resolver a questão de quantas maneiras é possível colorir 5 objetos iguais usando 4 cores diferentes, precisamos considerar que, devido ao número maior de objetos em relação às cores disponíveis, ocorrerá repetição de cores. Além disso, como os objetos são iguais, a ordem de aplicação das cores não altera o resultado final.

Dessa forma, estamos diante de um caso de combinação com repetição de elementos. A fórmula utilizada para calcular combinações com repetição é:

\( C_{n,k} = \cfrac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!} \)

Neste contexto:

• n representa o número de cores disponíveis (4).
• k é o número de objetos a serem coloridos (5).

Portanto, aplicamos a fórmula:

\( C_{4,5} = \cfrac{(4+5-1)!}{5! \cdot (4-1)!} \)

Resolvendo a equação:

\( C_{4,5} = \cfrac{8!}{5! \cdot 3!} \)

Expandindo os fatoriais:

\( C_{4,5} = \cfrac{8 \times 7 \times 6!}{5! \cdot (3 \times 2 \times 1)} \)

Note que o \(5!\) se cancela:

\( C_{4,5} = \cfrac{8 \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{5!} \cdot 6} \)

Concluímos que:

\( 8 \times 7 = 56 \)

Assim, os 5 objetos podem ser pintados de 56 maneiras distintas.

Portanto, a alternativa correta é a alternativa C.