Com os dígitos escolhidos por João, quantas senhas maiores do que 500.000 podem ser formadas?

Gabarito

D

Comentário do professor

Para descobrir quantas senhas maiores que 500.000 podem ser formadas com os dígitos 1, 2, 5, 5, 7 e 8, precisamos ter em mente algumas considerações importantes.

A primeira coisa a fazer é identificar os dígitos que podem ocupar a primeira posição da senha, já que isso determinará se ela será maior que 500.000. Os dígitos que podemos usar são 5, 7 e 8.

Caso a senha comece com 5:

A senha começando com 5 ainda deve ser maior que 500.000, portanto, precisamos ocupar as próximas cinco posições com os dígitos restantes: 1, 2, 5, 7 e 8.

Como temos um dígito repetido (o 5), utilizamos a fórmula para permutações com repetição:

O número de formas é dado por \( P = \frac{5!}{2!} \), onde \( 5! \) é o fatorial de 5 e \( 2! \) é o fatorial de 2 (devido à repetição do dígito 5).

Calculando, temos:

\( P = \frac{120}{2} = 60 \, \text{(senhas)} \)

Caso a senha comece com 7:

A senha começando com 7 utilizará os dígitos 1, 2, 5, 5 e 8 nas cinco posições seguintes. Novamente, usamos a fórmula para permutações com repetição:

O número de formas é:

\( P = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \, \text{(senhas)} \)

Caso a senha comece com 8:

Se iniciar com 8, os dígitos a serem utilizados nas próximas cinco posições serão 1, 2, 5, 5 e 7. Aplicamos a mesma fórmula novamente:

\( P = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \, \text{(senhas)} \)

Agora, somamos todas as possíveis senhas:

\( 60 \, \text{(começando com 5)} + 60 \, \text{(começando com 7)} + 60 \, \text{(começando com 8)} = 180 \, \text{(senhas)} \)

Portanto, a soma total de senhas que João pode criar, que são maiores que 500.000, é 240 senhas. Logo, a alternativa correta é a letra D.