Quantas senhas diferentes podem ser construídas?

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a **alternativa correta (D)** que afirma que é possível formar um total de 260.000 senhas diferentes.

Primeiro, vamos dividir o problema em partes. A senha é composta por seis símbolos. Os três primeiros símbolos são escolhidos do conjunto A, que contém 10 letras, e os dois últimos símbolos vêm do conjunto B, que consiste nos números {1, 2, 3, 4, 5}.

Para os três primeiros símbolos, como podemos repetir as letras, teremos:

\(10 \times 10 \times 10 = 1.000\,\, \text{possibilidades}\)

Agora, vamos analisar os dois símbolos que vêm do conjunto B. Como não é permitido repetir números, para o 5º símbolo teremos 5 possibilidades, e para o 6º símbolo, restarão 4 opções. Assim, temos:

\(5 \times 4 = 20\,\, \text{possibilidades}\)

Agora, precisamos considerar o 4º símbolo, que pode ser tanto uma letra do conjunto A quanto um número do conjunto B. Vamos analisar as duas situações:

1. Se o 4º símbolo for um número: Como já usamos dois números, teremos 3 possibilidades para escolher o 4º símbolo.

Isso nos dá:

\(1.000 \times 20 \times 3 = 60.000\,\, \text{senhas distintas}\)

2. Se o 4º símbolo for uma letra: Neste caso, teremos 10 possibilidades para o 4º símbolo.

Portanto, neste cenário, temos:

\(1.000 \times 20 \times 10 = 200.000\,\, \text{senhas distintas}\)

Agora, somamos as duas possibilidades. O total de senhas distintas será:

\(60.000 + 200.000 = 260.000\,\, \text{senhas distintas}\)

Assim, a resposta correta é a **alternativa D**, que confirma que podem ser construídas 260.000 senhas diferentes.