Quantos números naturais formados por três algarismos, dentre os quais pelo menos um deles é o 2, existem?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para determinarmos quantos números naturais formados por três algarismos têm pelo menos um 2, seguimos um passo a passo que envolve contagem total e subtração.

Primeiro, vamos calcular o total de números naturais de três algarismos. Lembrando que:

• O algarismo das centenas pode ser qualquer número de 1 a 9, ou seja, temos 9 possibilidades (não pode ser 0);
• Para o algarismo das dezenas e o algarismo das unidades, eles podem ser de 0 a 9, resultando em 10 possibilidades para cada um;

Assim, a contagem total fica:

\(9 \times 10 \times 10 = 900\,\,\text{números}\)

Agora, vamos calcular quantos desses números não contêm o 2. Para isso, fazemos a seguinte contagem:

• Para o algarismo das centenas, temos números de 1 a 9, excluindo o 2, resultando em 8 possibilidades;
• Para o algarismo das dezenas e o algarismo das unidades, podemos escolher qualquer número de 0 a 9, mas excluindo o 2, restam 9 possibilidades para cada um;

Portanto, o cálculo dos números que não contêm o 2 é:

\(8 \times 9 \times 9 = 648\,\,\text{números}\)

Finalmente, para encontrar a quantidade de números que têm pelo menos um 2, subtraímos o total que não contém o 2 do total de números de três algarismos:

\(900 - 648 = 252\,\,\text{números}\)

Assim, a alternativa correta é que existem 252 números naturais formados por três algarismos, dentre os quais pelo menos um deles é o 2.