De quantos modos oito estagiários de engenharia podem ser combinados para formar duas duplas e um grupo com quatro estagiários para executar determinada tarefa?

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a combinação de oito estagiários para formar duas duplas e um grupo de quatro estagiários.

Primeiro, escolhemos a primeira dupla a partir dos 8 estagiários disponíveis. A fórmula para calcular a combinação de n elementos tomados k a k é:

\(C_{n,k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)

Neste caso, precisamos escolher 2 estagiários dentre os 8:

\(C_{8,2}=\dfrac{8!}{2!(8-2)!}=\dfrac{8 \times 7}{2 \times 1}=28\)

Portanto, há 28 maneiras de formar a primeira dupla.

Após formar a primeira dupla, restam seis estagiários. Agora, vamos escolher a segunda dupla:

\(C_{6,2}=\dfrac{6!}{2!(6-2)!}=\dfrac{6 \times 5}{2 \times 1}=15\)

Assim, existem 15 maneiras de formar a segunda dupla.

Finalmente, sobram quatro estagiários, que formarão o grupo de 4 estagiários. Há apenas 1 maneira de escolher todos os 4 que já restaram.

Para determinar o número total de combinações, multiplicamos o número de maneiras de formar as duplas e o grupo:

\(28 \times 15 \times 1 = 420\)

Portanto, o número total de maneiras de combinar os estagiários é 420, confirmando que a alternativa correta é a letra B.