O gerente de um projeto quer dividir sua equipe, que é composta de 12 pessoas, em três grupos de quatro pessoas cada um. Entretanto, duas dessas pessoas, João e Maria, por questões

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para resolver a questão da divisão da equipe de 12 pessoas em 3 grupos de 4, respeitando a condição de que João e Maria não podem estar no mesmo grupo, seguiremos um raciocínio passo a passo.

Primeiro, vamos considerar a alocação do grupo de João. Se João está no primeiro grupo, precisamos escolher mais 3 pessoas entre as 10 restantes (pois Maria não pode estar neste grupo).

O número de maneiras de escolher essas 3 pessoas entre 10 é dado pela combinação:

\(C_{10,\,3}=\dfrac{10!}{3!\times (10-3)!}\)

Calculando, temos:

\(C_{10,\,3}=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120\)

Agora, vamos para o grupo de Maria. Assim que formamos o primeiro grupo com João, sobram 8 pessoas, das quais Maria deve estar em seu grupo. Portanto, precisamos escolher mais 3 pessoas entre as 7 restantes:

\(C_{7,\,3}=\dfrac{7!}{3!\times (7-3)!}\)

Calculando esse valor:

\(C_{7,\,3}=\dfrac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35\)

A quantidade de maneiras de organizar o terceiro grupo é automática, porque só sobram 4 pessoas após a formação dos dois primeiros grupos, e elas automaticamente se juntam para formar o último grupo.

Assim, o total de maneiras distintas que o gerente tem para dividir a equipe é o produto das maneiras de formar cada um dos grupos:

\(120 \times 35 \times 1 = 4.200\)

Portanto, a alternativa correta é a letra C, pois somos capazes de dividir a equipe respeitando a condição imposta, totalizando 4.200 maneiras distintas.