Em uma sala, há n pessoas, dentre as quais estão João e Maria. Serão sorteadas 4 pessoas para fazerem uma entrevista, em grupo, ao mesmo tempo. Maria deseja que João participe do s

Gabarito

B

Comentário do professor

Para resolver a questão, precisamos entender que Maria e João já estão no grupo de 4 pessoas que será sorteado. Portanto, nosso foco está em escolher mais 2 pessoas dentre as n - 2 pessoas restantes na sala.

A combinação que representa a escolha de 2 pessoas entre n - 2 é expressa como:

\(C_{n-2, 2} = \dfrac{(n-2)!}{2!(n-4)!}\)

Essa expressão pode ser simplificada para:

\(C_{n-2, 2} = \dfrac{(n-2)(n-3)}{2}\)

Sabemos que Maria encontrou 45 possíveis grupos:

\(C_{n-2, 2} = 45\)

Agora, igualamos essa expressão a 45:

\(\dfrac{(n-2)(n-3)}{2} = 45\)

Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos:

(n-2)(n-3) = 90

Expandindo essa equação, temos:

\(n^2 - 5n + 6 - 90 = 0\)

Isso simplifica para:

\(n^2 - 5n - 84 = 0\)

Para resolver essa equação quadrática, utilizamos a fórmula de Bháskara:

\(n = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84)}}{2 \cdot 1}\)

Calculando o discriminante:

\( \Delta = 25 + 336 = 361\)

Agora, substituímos na fórmula:

\(n = \dfrac{5 \pm 19}{2}\)

Encontramos duas soluções:

\(n_1 = \dfrac{24}{2} = 12 \quad \text{e} \quad n_2 = \dfrac{-14}{2} = -7\)

Como o número de pessoas não pode ser negativo, a única solução válida é:

n = 12

Portanto, na sala, há 12 pessoas.