A figura representa parte da disposição dos alojamentos de uma academia militar. Oscar está em seu alojamento, representado pelo ponto M, e precisa ir até o alojamento de seu sarge

Gabarito

D

Comentário do professor

Para resolver a questão proposta, precisamos determinar o número total de caminhos que Oscar pode seguir para ir do ponto M até o P, passando pelo N, e isso deve ser feito andando o menor possível.

A primeira parte do caminho, de M a N, requer 5 trechos: 2 para a esquerda e 3 para cima. Podemos representar esses deslocamentos como:

\(E\,E\,C\,C\,C\)

Onde \(E\) representa o movimento para a esquerda e \(C\) o movimento para cima. Para encontrar o número de diferentes formas de organizar esses movimentos, usamos a fórmula de permutação com elementos repetidos:

\(P_n^{\alpha,\beta} = \dfrac{n!}{\alpha! \times \beta!} \)

Nesse caso, \(n = 5\) (total de movimentos), \(\alpha = 2\) (movimentos para a esquerda) e \(\beta = 3\) (movimentos para cima). Assim, temos:

\(P_5^{2,3} = \dfrac{5!}{2! \times 3!} \)

Calculando, obtemos:

\(P_5^{2,3} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \, \text{maneiras} \)

Agora, para a segunda parte do caminho, de N até P, são necessários 3 trechos: 2 para a esquerda e 1 para cima. Novamente, representamos isso como:

\(E\,E\,C\)

Aplicando a mesma fórmula de permutação, agora temos:

\(P_3^{2,1} = \dfrac{3!}{2! \times 1!} \)

Resolvendo, temos:

\(P_3^{2,1} = \dfrac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \, \text{maneiras} \)

Finalmente, a quantidade total de caminhos de M até P (passando por N) é o produto das maneiras de cada segmento do percurso:

\(10 \times 3 = 30 \, \text{maneiras} \)

Portanto, a alternativa correta é 30, que representa o total de caminhos que Oscar pode percorrer cumprindo as condições da questão.