O diretor, o gerente e quatro funcionários de uma empresa sentam-se em volta de uma mesa circular com 6 lugares para uma reunião. Sabendo-se que o diretor e o gerente não sentam ju

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos entender melhor como chegamos ao resultado de 72 maneiras diferentes em que o diretor, o gerente e os quatro funcionários podem se sentar em volta da mesa circular.

Primeiro, em uma mesa circular com 6 lugares, o número total de arranjos ou permutações é dado pela fórmula:

\(PC_n = (n - 1)!\)

Assim, para 6 pessoas, temos:

\(PC_6 = (6 - 1)! = 5! = 120\,\,\text{maneiras}\)

No entanto, precisamos considerar a condição de que o diretor e o gerente não podem sentar juntos. Para isso, utilizamos o método complementar, em que primeiro contamos as maneiras em que eles estão juntos.

Se considerarmos o diretor e o gerente como uma única entidade ou grupo, teremos 5 "pessoas" para dispor em volta da mesa:

\(PC_5 = (5 - 1)! = 4! = 24\)

Dessa forma, para cada uma das posições desse grupo (diretor e gerente), eles podem trocar de lugar. Portanto, temos:

\(2 \cdot PC_5 = 2 \cdot 24 = 48\,\,\text{maneiras}\)

Agora, subtraímos o número de arranjos onde o diretor e o gerente estão juntos do total de arranjos:

\(120 - 48 = 72\,\,\text{maneiras}\)

Portanto, o número de maneiras em que essas seis pessoas podem se sentar em volta da mesa, respeitando a condição proposta, é 72, que corresponde à alternativa correta (C).