as contas pequenas são todas da mesma cor; contas grandes devem ter cores diferentes; se as contas pequenas forem da cor “x”, nenhuma conta grande pode ser da cor “x”. Sabendo-se q

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para resolver a questão proposta, precisamos considerar as diferentes opções de escolha das cores das contas pequenas e grandes, respeitando as regras impostas.

Primeiro, vamos analisar as contas pequenas. A artesã tem 4 opções de cores disponíveis: branca, preta, azul e laranja. Portanto, temos:

• 4 opções para a cor da conta pequena.

Em seguida, precisamos escolher as cores das contas grandes, que devem ser diferentes entre si e também diferentes da cor da conta pequena escolhida.
As contas grandes disponíveis são: branca, vermelha, verde, azul e rosa (totalizando 5 cores).

Agora, vamos dividir em dois casos, dependendo da cor escolhida para a conta pequena:

Caso 1: Conta pequena é branca ou azul.

• Neste caso, restam 4 opções para as contas grandes, pois não podemos repetir a cor da conta pequena.
• Com as 4 cores restantes, precisamos escolher 2 cores distintas entre as grandes, o que é uma combinação de 4 cores tomadas 2 a 2: \(C_{4,2} = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = 6\) modos.
• Como temos 2 opções para a conta pequena (branca ou azul), multiplicamos: \(2 \text{ modos} \times 6 \text{ modos} = 12 \text{ modos}\).

Caso 2: Conta pequena é preta ou laranja.

• Aqui, todas as 5 cores para as contas grandes estão disponíveis, pois não há restrições de cores previamente escolhidas.
• Portanto, escolhemos 2 cores distintas entre as 5, o que resulta em: \(C_{5,2} = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = 10\) modos.
• Temos 2 opções para a conta pequena (preta ou laranja), resultando em: \(2 \text{ modos} \times 10 \text{ modos} = 20 \text{ modos}\).

Agora, somamos os modos das duas situações:

\(12 \text{ modos} \text{ (Caso 1)} + 20 \text{ modos} \text{ (Caso 2)} = 32 \text{ modos}\).

Assim, a alternativa correta é 32 modos distintos de escolher as cores para as contas do colar, confirmando a opção c).