Juliana nasceu no dia 25 de maio de 1980. Ela deseja fazer uma senha de seis dígitos para acesso a um site usando apenas vogais e algarismos que aparecem em seu nome e em sua data

Gabarito

A

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que indica que Juliana pode criar 2.880 senhas distintas.

Primeiramente, Juliana vai usar apenas as vogais de seu nome e os algarismos de sua data de nascimento.

As vogais em "Juliana" são: u, i, a. Portanto, temos 3 letras.

Na data de nascimento (25/05/1980), os algarismos disponíveis são: 0, 1, 2, 5, 8, 9. No total, são 6 algarismos distintos.

Juliana deseja que sua senha seja composta por 3 letras e 3 algarismos, com todos dígitos distintos e com as letras obrigatoriamente juntas.

Para criar a senha, vamos seguir os passos:

1. **Escolha dos Algarismos**: Juliana tem 6 algarismos disponíveis. Para escolher 3 deles, consideramos a multiplicação das opções:

• 1º algarismo: 6 opções
• 2º algarismo: 5 opções
• 3º algarismo: 4 opções

Isso resulta em:

\( 6 \times 5 \times 4 = 120 \, \text{maneiras} \)

2. **Organização das Vogais**: Para as 3 letras (u, i, a), elas podem ser organizadas entre si. O número de arranjos dessas 3 letras é dado pela fatorial de 3:

\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \, \text{maneiras} \)

3. **Posicionamento do Bloco de Letras**: Como as letras devem ficar juntas, iremos considerá-las como um bloco. Assim, o bloco de letras e os 3 algarismos formam 4 elementos distintos a serem organizados.

O número de maneiras de dispor esses 4 elementos (3 algarismos + 1 bloco de letras) é:

\( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \, \text{maneiras} \)

Por fim, para encontrar o total de senhas distintas, multiplicamos o número de maneiras de escolher os algarismos, o número de maneiras de organizar as letras e o número de maneiras de dispor os blocos:

\( 120 \times 6 \times 4 = 2.880 \, \text{senhas} \)

Assim, a alternativa correta é 2.880, representando o total de senhas que Juliana pode criar.